Эффективная стрессотерапия Казалось бы, про стресс уже написано столько, что с ним каждый человек должен уметь справляться без труда. Увы. Стресс постоянно присутствует в жизни многих и многих людей, кому-то помогая, кому-то мешая, а кому-то откровенно вредя.Технология

Как было показано при рассмотрении модели Кронига и Пенни, энергия электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, Однако для практических целей удобно сохранить зависимость энергии электрона от квазиимпульса в классическом виде, а все различия, вызванные влиянием периодического поля, включить в массу электрона. Тогда в формуле вместо появляется некоторая функция энергии называемая эффективной массой.

Так как в точках энергия имеет максимум или минимум (см. рис. 9), то первая производная равна нулю. Ограничиваясь вторым приближением, из (2.43) находим

Следовательно, роль эффективной массы играет величина

В низших точках разрешенных зон имеет минимумы, а вторая производная от по больше нуля. Поэтому на дне зоны эффективная масса положительна, а в вершинах зон отрицательна, поскольку В некоторой точке в центре зоны Очевидно, разложение энергии в степенной ряд (2.43) и формула (2.44) справедливы только вблизи экстремальных точек. Понятие эффективной массы имеет более широкие границы применимости и может быть введено исходя из принципа соответствия.

Известно, что средние квантовомеханические величины удовлетворяют тем же соотношениям, что и соответствующие им классические величины. Так, волновые пакеты, составленные из решений уравнения Шредингера, движутся по траекториям классических частиц . Поэтому уравнению Ньютона

должен соответствовать квантовомеханический аналог.

Средняя скорость электрона равна групповой скорости волнового пакета . Для одномерного движения а в общем случае

где единичные векторы, направленные вдоль осей

Так как энергия зависит от времени только через волновой вектор к, то ускорение можно представить в виде

В правой части (2.48) стоит произведение тензора

на вектор следовательно

что по форме совпадает с классической формулой (2.46).

Таким образом, в квантовой механике кристаллов величиной, обратной эффективной массе, является тензор второго ранга с компонентами Качественно эффективную массу можно исследовать, рассматривая кривизну графика как функции к. Анизотропные свойства становятся наглядными, если построить изоэнергетические поверхности в k-пространстве, удовлетворяющие уравнению Если не зависит от направления к, а определяется лишь величиной вектора, то изоэнергетические поверхности будут сферами, а тензор (2.49) перейдет в скалярную величину Эллипсоидальным изоэнергетическим поверхностям соответствует тензор обратной эффективной массы диагонального вида. В этом случае вблизи экстремальных точек зависимость энергии от имеет вид

Эффективная масса носителей заряда

Выше было показано, что энергия электрона, перемещающегося внутри кристалла в виде волнового пакета, определяется из выражения (1.24)

W = ( k ) 2 / 2 m *,

где, как и преждеW -энергия электрона, Дж; k ­­ - значение волнового числа, м -1 ; - постоянная Дирака, а величина m * имеет смысл эффективной массы электрона.

Исходя из корпускулярных представлений эффективная масса - это масса заряженной частицы, движущейся внутри кристалла.

Дважды продифференцируем выражение (1.22) по значению волнового числа k :

Из второго выражения следует, что эффективную массу носителей заряда в кристалле можно рассчитать из выражения

Кг .(1.31)

Из выражения (1.31) следует, что эффективная масса электрона оп­­ределяется значением второй производной функ­ции W=f (k ).

В ка­­­честве при­мера рас­считаем по формуле (1.31)эффективную мас­­­су свободного эле­к­т­ро­на, когда за­ви­си­мо­сть энергии эле­ ­ к­т­ро­­на от волнового вектора выражается па­ра­бо­лической за­ви­си­­мо­стью ви­­да (1.22). Поскольку d 2 W/d k 2 = /m , то подста­но­вка этой ве­ли­чи­­ны в (5.8) дает m*=m . Сле­­­довательно, эф­­фективная масса сво­бо­д­­ного эле­к­тро­на равнаего мас­се покоя.

По­­­­­ня­­­тие эффективной массы но­сителей заряда значительно уп­ро­­щает математическое опи­са­ние движения но­си­те­лей в по­тен­­ци­­аль­ном поле кристаллической ре­ше­тки.

Дифференцируя значение W в выражении (1.22) мы полу­чили, что dW /dk =k /m * . Из урав­­не­ния (1.20) следует, что груп­­по­вая ско­рость v е волнового пакета, об­ла­­да­­ю­щего квазиим­пу­льсом P=m*v е , при его дви­жениив пе­ри­о­ди­­че­с­ком поле кри­­стал­­ли­че­с­­кой ре­шеткиоп­­ре­де­ляетсясо­от­но­шением

, м /с,(1.32)

Оценим величину v е . Для этого из выражения (1.26) рассчитаем ма­к­­си­ма­ль­­ное зна­че­­ние во­л­нового числаk эле­к­т­ро­нов в крем­нии, ко­­торое при зна­чении параметра кри­сталлической решетки кре­м­ния a Si =0,543 нм составляет 6 × 10 9 м -1 .В этом случае из со­от­но­ше­ния (1.32) для ско­­ро­сти электрона v е по­лу­чим ве­ли­чи­ну около 6 × 10 5 м/с .

На рис. 1.19, а пре­д­­­ста­в­ле­на за­ви­си­мость W (k ) для нижней энергетической зоны в пре­де­лах первой зо­­ны Бриллюэна , построенная в соответствии с вы­­ражением (1.28). Энергия эле­ктрона вбли­зи дна зоны проводимости (при ka <<1) определяется путем раз­ло­жения фун­кции cos (ka ) в ряд Мак­лорена : cos (ka ) 1-(ka ) 2 /2!+..., откуда из формулы (1.28) следует, что

W (k ) W о + (g a 2 k 2)/2=W мин +А k 2 ,(1.33)

где W мин - минимальное значение энергии при k=0; А =(g a 2)/2 - по­стоян­ная .

График кривой (1.33) является квадратич­ной параболой.

Подставляя результат диф­фе­рен­ци­рования дисперсионной кривой (1.33) по k в фор­му­лу (1.32), получим, что вблизи дна и в средней ча­сти зоны зна­че­­ние групповой скорости электрона определяется вы­­ра­жением v e = g ka 2 / , то естьлинейно зависит от изменения во­л­­­­­­­­нового чи­с­ла k (рис. 1.19, б ).

Рассмотрим теперь зависимость эффективной массы от вол­но­во­­­го числа для электрона, находящегося в периодичес­кой одно­ме­­р­­­ной решетке (рис. 1.19, в .).

Для эффективной массы электро­на в со­ответствии с формулой (1.31) получим выражение m* = /g a 2 . Сле­­довательно, вбли­­­зи дна и в средней части разрешенной зо­­ны эф­фе­ктивная мас­са электрона является постоянной и по­ло­жи­­те­ль­ной вели­чи­ной . Заметим, что при возрастании ши­­ри­ны раз­­решен­ной зо­ны(что происходит с увеличением па­ра­­­ме­т­ра g) эф­­­фек­тивная масса эле­ктрона уменьшается, а скорость эле­ктро­на v е увеличивается.

Вблизи границ первой зоны Брил­люэна ско­рость эле­к­т­ро­­нов v e про­хо­­дит че­рез максимум, а на границах зо­ны (k= p /a ) ста­но­вится ра­­­вной нулю (рис. 1.19, б ), что соответствует оста­нов­ке и отра­же­нию электрона. Поэ­тому вб­ли­зи границы зо­­ны Бриллюэна зна­че­ние эффективной мас­сы эле­к­трона воз­­ра­с­та­ет до бесконечности, а фу­н­­кция m * (k ) пре­те­р­пе­ва­ет разрыв и ме­ня­ет знак на отри­ца­тельный (рис. 1.19, в ). Та­ким образом, эф­­фек­ти­в­ная масса элек­т­ро­на вблизи пото­л­ка раз­ре­­шенной зоны является от­рицательной ве­ли­чиной, т. е. m * <0.

В таблице 1.4. приведены значения эффективных масс электронов и дырок в различных полупроводниковых материалах.

Таблица 1.4
Полупроводник			GaAs	In Sb
Эффективная масса электронов,	1 , 0 6m 0	Электрон проводимости, электрон металлов и полупроводников, энергия которого находится в частично заполненной энергетической зоне (зоне проводимости, см. Твёрдое тело). В полупроводниках при… Твёрдое тело, одно из четырёх агрегатных состояний вещества, отличающееся от др. агрегатных состояний (жидкости, газов, плазмы) стабильностью формы и характером теплового движения атомов, совершающих… Зонная теория твёрдого тела, раздел квантовой механики, рассматривающий движение электронов в твёрдом теле. Свободные электроны могут иметь любую энергию - их энергетический спектр непрерывен… Гальваномагнитные явления, совокупность явлений, связанных с действием магнитного поля на электрические (гальванические) свойства твёрдых проводников (металлов и полупроводников), по которым течёт ток… Циклотронный резонанс, избирательное поглощение электромагнитной энергии носителями заряда в проводниках, помещенных в магнитное поле при частотах, равных или кратных их циклотронной частоте. При Ц. р… Теплоёмкость, количество теплоты, поглощаемой телом при нагревании на 1 градус; точнее - отношение количества теплоты, поглощаемой телом при бесконечно малом изменении его температуры, к этому… Квантовая жидкость, жидкость, свойства которой определяются квантовыми эффектами. Примером К. ж. является жидкий гелий при температуре, близкой к абсолютному нулю. Квантовые эффекты начинают… Фермион, ферми-частица, частица или элементарное возбуждение квантовой системы многих частиц - квазичастица, обладающая полуцелым спином. К Ф. относятся все барионы (протон, нейтрон, гипероны и др.) и… Ферми энергия, ферми-уровень, значение энергии, ниже которой все энергетические состояния частиц вырожденного газа, подчиняющихся статистике ферми - Дирака (фермионов), при абсолютном нуле температуры… Гелий (лат. Helium), символ Не, химический элемент VIII группы периодической системы, относится к инертным газам; порядковый номер 2, атомная масса 4,0026; газ без цвета и запаха. Природный Г. состоит… Фонон (от греч. phone - звук), квант колебательного движения атомов кристалла. Колебания атомов кристалла благодаря взаимодействию между ними распространяются по кристаллу в виде волн, каждую из… Экситон (от лат. excito - возбуждаю), квазичастица, представляющая собой электронное возбуждение в диэлектрике или полупроводнике, мигрирующее по кристаллу и не связанное с переносом электрического… Квазичастицы (от квази... и частицы), одно из фундаментальных понятий теории конденсированного состояния вещества, в частности теории твёрдого тела. Теоретическое описание и объяснение свойств… Эффективная масса, величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц . Например , движение электрона проводимости в кристалле под действием внешней силы F и сил со стороны кристаллической решётки (см. Твёрдое тело , Зонная теория)может быть описано как движение свободного электрона, на который действует только сила F (закон Ньютона), но с Э. м. m* , отличной от массы m свободного электрона. Это отличие отражает взаимодействие электрона проводимости с решёткой. Э. м. определяется соотношением: где x - энергия, р - квазиимпульс электрона проводимости. Если зависимость x(р ) (закон дисперсии) анизотропна, то Э. м. представляет собой тензор (тензор обратной массы): Это означает, что ускорение электрона в решётке в общем случае направлено не параллельно внешней силе F . Оно может быть направлено даже антипараллельно F , что соответствует отрицательному значению Э. м. Свойства электронов с отрицательной Э. м. столь отличаются от свойств обычных частиц, что оказалось удобнее рассматривать положительно заряженные дырки с положительной Э. м. Загрузка...